[백준 34019] [G] Grounded Number

$n$이 작을 때부터 몇 개를 넣어서 직접 시뮬레이션해 보면, $n$이 홀수일 때와 짝수일 때로 결과가 나뉨을 알 수 있다. 하지만 $n \le 10^{18}$ 제한까지 모든 $n$에 대해 성립함을 증명하는 것은 꽤나 어렵다.

$n$이 홀수라면 $k$와 같은 홀짝성을 가진다. 각 연산마다 $k$는 홀짝이 바뀌고, $n$ 역시 $+1$ 또는 $-1$을 통해 홀짝이 바뀌기 때문이다.

$n = 1$일 때 자명하게 No이고, 처음 시작 때 $n > k$라고 하자. 홀짝성이 같기 때문에 $n$이 감소하다가 $n = k$인 순간이 오거나, 혹은 오지 않는다면 항상 $n > k$가 유지되거나 둘 중 하나이다.

$n > k$가 유지되면 0에 도달할 수 없으니 No이고, $n = k$인 순간이 온다면 그 순간부터 $n$과 $k$는 같이 1씩 증가하며 결국 발산하므로 0에 도달할 수 없어 No이다.

마찬가지로 $n$이 짝수라면, $k$와 다른 홀짝성을 가진다.

$n > k$라고 하자. 홀짝성이 다르기 때문에 $n = k$인 순간은 오지 않는다. 또한 $n < k$가 되는 순간 $n$이 $k$의 배수가 될 수 없으므로 $n$은 계속 작아지기 때문에 $n$은 0이 될 수 있다.

따라서 $n$이 짝수인데 0에 도달할 수 없는 경우는 항상 $n > k$가 유지되는 순간밖에 없다.

$k$가 짝수일 때, $n$은 항상 홀수이다. 이는 $k$가 짝수일 때 $n$이 $k$의 배수가 될 수 없다는 걸 의미한다. 따라서 적어도 $k$가 짝수인 순간에 $n$은 감소한다. 만약 $n$이 $k$가 홀수인 모든 순간에 $n$이 $k$의 배수라서 증가한다고 하자. 그렇다고 하더라도, 결코 $n > k$는 유지될 수 없다. $k$는 매 시행마다 1씩 단조증가하지만, $n$은 2번의 시행마다 한 번의 증가와 한 번의 감소를 거쳐 원래 $n$으로 돌아오기 때문이다. 결국 $n < k$인 순간이 오게 되고, 앞서 말했듯 홀짝성이 다르기 때문에 $n = k$인 순간이 오지 않아 $n < k$가 되는 순간 0에 도달하게 되어 0이 될 수 있다.

따라서 $n$이 홀수일 때 No이고, $n$이 짝수일 때 Yes이다.

process.stdin.on('data',e=>console.log(BigInt(String(e))%2n == 1n?'No':'Yes'))